為什麼琴鍵這樣排列? 從數學角度探討音律系統
mathmusicphysicsnumber-theoryhistoryscience 2025-03-21

當你彈奏鋼琴或吉他時，是否曾好奇為什麼鋼琴有 88 個琴鍵還有吉他指板琴衍的距離是怎麼定義出來的？為什麼一個八度有 5 個黑鍵 7 個白鍵，一共 12 個音符，而不是 10 個或 15 個？這些問題的答案藏在數學的優美公式中

鋼琴鍵盤的排列展示了12平均律系統

自從去年年底離職後，我終於有足夠的時間去關注那些過去因工作忙碌而無法靜心觀察、思考，甚至完成的事。我特別喜歡逛 Hacker News，上面總能發現許多有趣且發人深省的文章。

回想高中時期，我曾經投入大量時間鑽研電吉他的技巧與樂理。或許正是這股狂熱，讓我在讀到這篇 天才的文章 時，立刻想寫一篇這樣的文章：為什麼琴鍵是這樣排列的? 從數學角度探討音律系統

就讓我們從數學的角度，一起深入探索這個橫跨數學與音樂領域的迷人課題。

畢達哥拉斯的音樂探索：數學中的和諧比例

整數比與和諧音程的發現

約莫 2,500 年前，古希臘數學家兼哲學家 畢達哥拉斯（Pythagoras） 發現聲音的和諧與簡單的整數比有關。

畢達哥拉斯研究單弦琴上的音程比例

畢達哥拉斯相信宇宙中的一切都可以用整數或整數比表示。在音樂領域他尋找能夠產生和諧聲音的頻率，並發現某些頻率比例的聲音聽起來特別悅耳。這些關鍵比例包括：

  • 1:2（八度，Octave）：當頻率為 $f$ 的音與頻率為 $2f$ 的音一起演奏時，聽起來格外協調，下面音檔是A3, A4, A5

  • 2:3（純五度，Perfect Fifth）：繼八度之後最和諧的音程，其實電吉他的power chord也是這個，下面音檔是A4, E5

純五度循環與畢達哥拉斯壞音：數學的必然矛盾

畢達哥拉斯發現，可以用純五度關係建構更多的音：

  1. 從基準音（如C）開始
  2. 計算其純五度（頻率乘以3/2）得到新音（G）
  3. 若新音頻率超過原音的2倍，則將其頻率除以2
  4. 重複操作，理論上應能得到完整的音階系統

五度圈展示了12個音如何通過純五度關係連接

如果從C開始，經過12次純五度計算後，理論上應回到C的某個八度。但事實上：

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{12} \approx 129.746$$

而$2^7 = 128$，兩者相差約1.36%。這意味著12個純五度疊加後的音高與7個八度後的音高並不完全相同！這個微小但不可忽視的差距被稱為「畢達哥拉斯壞音」（Pythagorean Comma）。

為什麼不完美？數學本質的必然結果

從數學本質上看，問題可歸結為：是否存在整數 $n$ 和 $m$，使得：

$$\left(\frac{3}{2}\right)^n = 2^m$$

取對數後可得：

$$\frac{n}{m} = \frac{\log(2)}{\log\left(\frac{3}{2}\right)} \approx 1.7095…$$

根據 Gelfond–Schneider theorem，$\frac{\log(2)}{\log\left(\frac{3}{2}\right)}$ 是一個無理數，這意味著不存在任何整數 $n$ 和 $m$ 能使等式精確成立。這不是調音方法的問題，而是數學本質決定的必然結果——就像無法用有限小數精確表示π值一樣。

但 $\frac{12}{7} \approx 1.7142$ 是對 $1.709$ 的一個相當好的近似，這解釋了為什麼西方音樂選擇了12音系統。

12等律：數學與藝術的絕妙平衡

為解決「畢達哥拉斯壞音」問題，音樂家和數學家發明了12等律（12-Tone Equal Temperament）：

  1. 將八度平均分成12個完全相等的半音
  2. 每個半音的頻率比為 $2^{1/12} \approx 1.059463$
  3. 12個半音後恰好回到原音的八度：$(2^{1/12})^{12} = 2$

這種平均律的核心原理是對八度進行等比分割，使每個半音間隔完全相等。與畢達哥拉斯音階不同，12平均律不再堅持純五度的完美比例，而是追求系統的一致性和轉調的便利性。

在12平均律中，純五度的頻率比變為 $2^{7/12} \approx 1.498$，與理想的 $\frac{3}{2} = 1.5$ 相差約0.11%。這種微小的調整是一種精妙的數學妥協，讓所有調性都能使用，且能自由轉調。

12等律的數學基礎

在 12 等律中，每個半音的頻率比是：

$$
r = \sqrt[12]{2} \approx 1.059463…
$$

這是個無理數，因此我們不可能找到精確的整數比來表示所有音程。然而，我們希望某些音程（如純五度、純四度、大三度）在 12 等律中有良好的近似，這就涉及如何用有理數逼近無理數，所以需要丟番圖逼近來讓有理數近似無理數

12等律能夠較好地近似多個重要的純律音程：

音程 純律比例 12等律比例 誤差 (%)
八度 (Octave) 2.000000 2.000000 0.000000
純五度 (Perfect Fifth) 1.500000 1.498307 -0.112862
純四度 (Perfect Fourth) 1.333333 1.334840 0.112989
大三度 (Major Third) 1.250000 1.259921 0.793684
小三度 (Minor Third) 1.200000 1.189207 -0.899407
大六度 (Major Sixth) 1.666667 1.681793 0.907570
小六度 (Minor Sixth) 1.600000 1.587401 -0.787434
大二度 (Major Second) 1.125000 1.122462 -0.225596
小二度 (Minor Second) 1.066667 1.059463 -0.675335
增四度/減五度 (Tritone) 1.400000 1.414214 1.015254

12等律與純律音程的比較視覺化

數學的可能性：其他等律系統

數學探索不止於12等律，還有其他可能的音律系統：

19等律（19-TET）

  • 每半音頻率比：$2^{1/19} \approx 1.0371$
  • 純五度近似：$2^{11/19} \approx 1.4937$，誤差僅0.42%
  • 數論逼近：$\frac{19}{11} \approx 1.7273$，對比實際比值 $\frac{\log(2)}{\log(3/2)} \approx 1.7095$，誤差約 1.04%

31等律（31-TET）

  • 每音頻率比：$2^{1/31} \approx 1.0226$
  • 純五度近似：$2^{18/31} \approx 1.4955$，誤差僅0.3%
  • 數論逼近：$\frac{31}{18} \approx 1.7222$，對比實際比值 $\frac{\log(2)}{\log(3/2)} \approx 1.7095$，誤差約 0.74%
  • 幾乎完美還原純律中的許多音程，但實際應用複雜

最後寫個程式看看有沒有更低誤差的等律吧

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def improved_harmony_score(n, plot=False):
    """
    計算n等分音律系統的和諧度評分
    """
    intervals = {
        "純八度": {"ratio": 2/1, "weight": 10.0},
        "純五度": {"ratio": 3/2, "weight": 8.0},
        "純四度": {"ratio": 4/3, "weight": 7.0},
        "大三度": {"ratio": 5/4, "weight": 6.0},
        "小三度": {"ratio": 6/5, "weight": 5.0},
        "大六度": {"ratio": 5/3, "weight": 4.0},
        "小六度": {"ratio": 8/5, "weight": 3.5},
        "大二度": {"ratio": 9/8, "weight": 3.0},
        "小七度": {"ratio": 9/5, "weight": 2.5},
        "大七度": {"ratio": 15/8, "weight": 2.0}
    }
    
    errors = {}
    total_weighted_error = 0
    total_weight = sum(interval["weight"] for interval in intervals.values())
    
    for name, interval in intervals.items():
        ratio = interval["ratio"]
        weight = interval["weight"]
        
        steps = np.arange(1, n)
        et_ratios = 2 ** (steps / n)
        
        target_cents = 1200 * np.log2(ratio)
        et_cents = 1200 * np.log2(et_ratios)
        cents_errors = np.abs(et_cents - target_cents)
        
        min_error = np.min(cents_errors)
        best_step = steps[np.argmin(cents_errors)]
        perceptual_error = 1 - np.exp(-0.1 * min_error**1.5)
        weighted_error = perceptual_error * weight
        
        errors[name] = {
            "純律比": ratio,
            "等律步數": best_step,
            "等律比": 2 ** (best_step / n),
            "誤差(音分)": min_error,
            "感知誤差": perceptual_error,
            "權重": weight,
            "加權誤差": weighted_error
        }
        
        total_weighted_error += weighted_error
    
    normalized_error = total_weighted_error / total_weight
    score = 1000 * (1 - normalized_error)
    
    return score, errors

# 計算 2~50 等分音律的和諧度評分
results = {}
for n in range(2, 51):
    score, _ = improved_harmony_score(n)
    results[n] = score

# 輸出結果
for n, score in results.items():
    print(f"{n}-等分: {score:.2f}")

計算結果表格

等分數 和諧度評分
2 0.000
3 1.178
4 0.363
5 0.138
6 28.359
7 1.715
8 0.363
9 1.180
10 3.776
11 29.144
12 253.200
19 250.865
22 144.688
31 324.254
34 438.195
41 439.427
46 454.806

從表中可以看到，12、19、31、34、41、46 等等等分音律的和諧度評分較高

在音樂歷史中，19-TET, 31-TET 等音律系統曾被一些作曲家和理論家探索和使用。​然而，34-TET、41-TET和46-TET等音律系統在歷史上較少被採用

答案顯而易見，讀者可以自己想想為什麼

以下是一些採用不同等分音律（TET）系統創作的音樂作品推薦：

19等分音律（19-TET）：

《Truth on a Bus》

《Deluge》

《Dagdröm 2》

31等分音律（31-TET）：

《Music fur die 31-Stufige Orgel》

結語：數學與音樂的完美交融

12等律的選擇是數學與藝術的絕妙平衡。它犧牲了純音程的完美和諧，換取了較低的複雜度與調性間的平等和轉調的自由。

從數學角度看，音律系統的選擇涉及丟番圖近似、連分數理論和誤差最小化等深刻概念，這些數學工具幫助我們理解為什麼某些數字在音律理論中如此特殊。